Большой экономический клубок

Теорию графов применили для изучения структуры мирового рынка
Специалисты по системному анализу из Цюриха доказали, что значительная часть экономики (около 40 процентов) контролируется совсем небольшой долей компаний, куда входят преимущественно финансовые институты. Несмотря на то, что такой вывод подозрительно напоминает классическую теорию заговора, полученный результат является первой попыткой анализа структуры финансовых потоков в экономической системе в целом. Также это отличный повод напомнить читателям "Ленты.ру" о существовании теории графов.

Графы, мультиграфы, веса и прочая интересная теория

Родоначальником теории графов можно считать Леонарда Эйлера - великого российского (как настаивают многие историки) математика швейцарского происхождения XVIII века. Он заинтересовался вот какой задачей. Во времена Эйлера в Кенигсберге через реку Преголя было семь мостов между двумя речными берегами и парой крупных островов в русле. Задача о мостах звучала так: надо было придумать такой маршрут прогулки, чтобы он проходил по каждому мосту ровно один раз (при этом маршрут не обязан был начинаться и заканчиваться в одной и той же точке).

Эйлер изобразил два берега реки и острова точками, а мосты, соединяющие их, линиями. Так получился первый граф, который получил название графа Кенигсбергских мостов. Эйлер нашел необходимое условие существования искомого пути в произвольном графе: количество вершин, из которых выходит нечетное число линий должно быть либо два, либо ноль. В первом случае эти вершины - начало и конец обхода. Позже достаточность этого условия была доказана учеником Эйлера Карлом Хирхольцером.

В современной версии теория графов используется повсеместно - всякую сеть вне зависимости от природы соотношений между объектами (это могут быть связи между нейронами в мозгу, романтические отношения между людьми внутри большой компании или же просто соединенные сетью компьютеры) можно представлять в виде подходящего графа. Формальное определение этого объекта звучит так: графом в математике называется пара множеств V и G, называемых вершинами и ребрами. Ребра существуют не сами по себе, а связывают отдельные вершины. Количество ребер, выходящих из вершины графа, называется ее степенью.

Граф называется ориентированным, если на ребрах нарисованы стрелочки - фактически это означает, что вместо двух концов у ребра появляется начало (откуда выходит стрелка) и конец (куда она приходит). Мультиграфом называется такой граф, где две вершины может соединять больше одного ребра. Иногда ребрам приписывают так называемые веса - обычно положительные числа. Например, если наш граф - схема Московского метрополитена, где вершинами выступают станции, а ребрами - соединяющие их туннели, то естественное семейство весов - время, которое тратится при проезде от одной станции до другой. Также разные числовые метки можно присваивать и вершинам графа - их иногда тоже называют весами.

Экономика как запутанный клубок

Итак, ученые из Швейцарской высшей технической школы Цюриха воспользовались Orbis 2007 - платной базой данных, которая хранит информацию о 37 миллионах "экономических сущностей" - компаний, фондов, частных лиц, объединенных тем, что они участвуют в экономическом процессе. В частности, некоторым из них принадлежат доли во вполне реальных компаниях.

На первом этапе ученые решили отделить реальную экономику от сложных отношений финансовых институтов. Для этого из 37 миллионов сущностей они отобрали только транснациональные корпорации (то есть владевшие напрямую или через дочерние организации как минимум 10 процентами компаний, расположенных в разных государствах). При этом, если корпорация представляла собой группу взаимосвязанных компаний с одним владельцем (например, The Coca-Cola Company владеет Coca-Cola Hellenic Bottling Company, которая, в свою очередь, владеет Coca-Cola Beverages Austria), то вместо всех них брался этот самый владелец (The Coca-Cola Company в данном случае). Так появился основной объект изучения - 43060 корпораций, работающих в 116 странах мира.

Всю базу Orbis ученые представили как взвешенный ориентированный мультиграф. Множество его вершин, как легко догадаться, - это экономические сущности. Две сущности соединяло ребро с началом в вершине A и концом в вершине B, если вершине A принадлежала часть, обозначаемая вершиной B. Затем ученые взяли 43060 корпорации и выбрали из 37 миллионов вершин только те, куда можно было попасть, двигаясь по стрелкам из вершин-корпораций, либо откуда можно было попасть в эти вершины. В результате был получен граф, который и оказался основным объектом исследования - он содержал 600508 вершин и 1006987 ребер.

Схема сети с ядром

В полученном графе каждому ребру присваивалось число от 0 до 1 - доля владения одной компании в другой. То есть, если, например, ребро соединяло вершины A и B и имело вес 0,51, то это означало, что A владело 51 процентом компании B. Кроме этого все вершины были также наделены весами - стоимостью соответствующей компании (таким образом, при стоимости B в x миллионов долларов, A имело собственности на 0,51x миллиона). Понятное дело, что для оценки влияния компании на рынок недостаточно оценить, с какими вершинами связаны выходящие из нее ребра - необходимо рассматривать и вершины, до которых, двигаясь по стрелкам, можно дойти за несколько ходов. В этом случае числа на ребрах перемножаются (действительно, если A владеет 50 процентами B, а B - 50 процентами C, то A владеет 25 процентами от C).

На последнем этапе ученые использовали три разных метода для анализа контроля компании над рынком. Первый метод (линейная модель) делил контроль над компанией между всеми ее собственниками пропорционально долям владения. Второй метод (пороговая модель) работал, как и предыдущий, при всех долях меньше 0,5. Если у компании был мажоритарный владелец - то есть субъект, которому принадлежало более 50 процентов компании, то она полностью переходила под его контроль. Наконец третий метод (плотностная модель) делил контроль над фирмой в зависимости от соотношений долей всех владельцев. В этом случае, например, если один из владельцев имеет небольшую долю, но все остальные имеют еще меньшую, то он может сконцентрировать в своих руках значительную часть контроля над компанией.

Топология мировой закулисы

Топологический анализ, без анализа контроля, позволил установить, что в полученной сети имеется ровно одна так называемая сильно связанная компонента - 1347 экономических сущностей, которые напрямую или косвенно владеют всеми остальными компаниями сети. Это множество получило название ядра, которое, если прибегнуть к терминологии приверженцев теории заговора, можно назвать мировой закулисой. Тут, кстати, уместно будет разочаровать этих самых приверженцев: ядро оказалось очень сильно взаимосвязанным - средняя степень вершины внутри ядра составляет примерно 20. По словам ученых, это делает всякое взаимодействие внутри множества довольно затруднительным.

В свою очередь анализ влияния разными методами позволил установить, что примерно 40 процентов объема мирового рынка контролируют всего 147 компаний. Основную часть из них составляют финансовые институты.

Несмотря на то, что выводы ученых уже подвергаются сомнению, - в частности, специалисты говорят, что взаимосвязь между контролем и долей в компании не такая простая, как в работе исследователей, - у их работы есть одно несомненное преимущество. По сути это первая попытка проанализировать мировую финансовую систему на устойчивость, используя структурный анализ. Кто знает, быть может, этот подход окажется плодотворнее классического и вопросы стабильности не будут оставаться на откуп чистой теории вероятностей.

Ссылки по теме
• Системные аналитики из Цюриха нашли "мировую закулису" – Lenta.ru, 20.10.2011
• Физики объяснили различия у листьев и деревьев – Lenta.ru, 08.02.2010
• Математики научились считать раскраски карт – Lenta.ru, 12.02.2009
Сайты по теме
• Швейцарская высшая техническая школа Цюриха